A VUELTAS CON LA MASA

(Artículo publicado en el número12 de la revista “Laberintos” del I.E.S. Élaios)

La palabra masa se deriva del latín massa , que se emplea para referirse a una bola de pasta, que, a su vez, viene del griego maza (maza) o pastel de cebada. En el contexto científico, con el término masa sucede como con el término amor en la vida cotidiana, que todos sabemos intuitivamente lo que significa, pero que nadie puede expresarlo con palabras.

Considera las siguientes frases: “…me gusta la masa de bollo suizo…”; “…esas masas de aire frío no auguran nada bueno…”; “…la masa de bienes del Instituto es reducida…”; “…no le pegues al niño en la cabeza, que está estudiando, y puedes alterar molecularmente su masa encefálica…”; “Hay un hecho que, para bien o para mal, es el más importante en la vida pública europea de la hora presente. Este hecho es el advenimiento de las masas al pleno poderío social.”; “La corriente vuelve a la batería, que representa la masa metálica del coche…” y “El kilogramo es la unidad de masa que…”. Todas estas frases, y alguna otra más que podríamos recordar, corresponden a los diferentes significados de la palabra masa que encontramos en el diccionario.

La masa, en los diccionarios y en muchos libros de texto, se define como “la cantidad de materia (de un cuerpo)”. Pero ¿qué es la materia? Si, presos de una sana curiosidad, buscamos el significado de la palabra materia , el diccionario nos dice que es un “componente de los cuerpos, dotado de masa y volumen”. Esto significaría que la materia, independientemente de la cantidad, ya tiene masa y que la primera definición, por lo tanto, carece de sentido. Dejemos al margen esta pugna lingüística e intentemos centrarnos en el contexto de la física. Pero, antes, unas preguntas pertinentes.

¿Es lo mismo masa que cantidad de materia?

¿Es lo mismo masa que peso?

¿Es lo mismo masa inercial que masa gravitatoria?

¿Es lo mismo cantidad de materia que cantidad de sustancia?

La cantidad de materia

La masa como cantidad de materia es una de las más penetrantes, e imprecisas, nociones de la física. Según E. HECHT, el improbable origen de esta noción es el siguiente: “El volumen y el peso constituían ya ideas familiares en la Edad Media , pues estos conceptos eran importantes para el comercio desde la antigüedad. Por eso, resultó bastante sorprendente que Egidio Romano introdujera otra medida fundamental de la materia. Este teólogo del siglo XIII, discípulo de Aquino y profesor en la Universidad de París, estaba absorto en la contemplación de una cuestión religiosa de tremenda complejidad ¿Cómo era posible que durante el sacramento de la Eucarística , el pan y el vino se transformaran en cuerpo y sangre de Cristo a pesar de la evidente discrepancia de peso y volumen? Dos visiones diferentes se unen aquí: la naturalista y la espiritualista, Aristóteles y la Iglesia , la doctrina y el dogma, de nuevo necesitadas de reconciliación. Egidio encontró la reconciliación que se necesitaba al sostener que, independiente del peso y el volumen, la medida de la sustancia, el cuánto de una entidad material, era su cantidad de materia . Aunque la innovación de Egidio tuvo poco o ningún efecto en el devenir de la teología, emergió como un concepto útil, aunque específicamente indefinido, en la ciencia medieval. Casi 400 años más tarde, Newton usó las palabras masa y cantidad de materia indistintamente, como hacían sus contemporáneos.”

Se puede reconocer la importancia de algo y, a la vez, no ser capaz de definirlo con precisión. Parece ser propio de la condición humana el que, cuanto mayor es la importancia de un concepto, menos satisfactoria resulta su definición. Esto es lo que le ocurrió a Newton, que reconoció el papel fundamental que representaba la masa en una teoría dinámica, al tiempo que daba una definición poco satisfactoria. La definición I de los Principia de Newton establece que “La cantidad de materia (masa) es la medida de la misma, que resulta de su densidad y tamaño (volumen) conjuntamente.” Sin una definición explícita del significado de densidad –y Newton no proporcionó ninguna- nos hemos quedado sin rumbo acompañando a todos los científicos que han debatido este concepto durante más de 300 años. La densidad era un concepto familiar en tiempos de Newton; Boyle en su trabajo sobre la compresión de los gases y Arquímedes con sus experimentos de flotación habían utilizado también la idea de densidad. Pero si se define la densidad, de la forma habitual, como la masa de un cuerpo dividida por su volumen, entonces la definición de Newton se convierte en un círculo vicioso.

Si el mismo Sir Isaac Newton tuvo dificultades con la definición de masa ¿cómo no aceptar que los estudiantes de educación secundaria se adhieran sin reparos a la vaga idea de masa como cantidad de materia?

La masa, una medida de la inercia

Si das una patada a una lata vacía, la lata se mueve. Si está llena de arena, no se mueve con tanta facilidad y, si está llena de perdigones de plomo, posiblemente te harás daño. Resulta, entonces, que es más difícil poner en movimiento una lata llena de plomo que repleta de arena y que presenta más dificultad mover la lata con arena que la lata vacía. Para explicar este comportamiento decimos que las latas, y los cuerpos en general, tienen diferente inercia ; tanta más inercia cuanto más difícil resulte cambiar su estado de movimiento. La inercia, además, está relacionada con la masa, de la siguiente manera: cuanto más masa tiene un cuerpo, más inercia presenta, esto es, mayor fuerza se necesita para ponerlo en movimiento, detenerlo o modificar su estado de movimiento (que se mueva más rápidamente o más lentamente o que cambie de dirección). A mí personalmente me resulta más sencillo detener una mosca que un autobús, aunque vea venir a ambos con la misma velocidad; tengo que hacer menos fuerza en el caso de la mosca que en el caso del autobús (sin tener en cuenta los efectos colaterales); este diferente comportamiento de la materia se explica entonces diciendo que la mosca tiene menos inercia que el autobús, que la mosca tiene menos masa que el autobús. La masa es una medida de la inercia. Se califica por eso esta propiedad de la materia como masa inercial .

La masa inercial aparece en la segunda ley de Newton. Veamos cómo. Una de las expresiones matemáticas más asociada a Newton es la famosa “ Fuerza igual al producto de la masa por la aceleración ”, que constituye su marca de la casa y que está reconocida universalmente por todos los científicos. Y, sin embargo, no aparece por ninguna parte de los Principia . Por extraño que parezca, esta reducida formulación de la segunda ley no fue dada explícitamente por Newton. Apareció varias décadas después en la obra del matemático suizo L. Euler. Newton mantuvo oculta su peculiar idea de la masa en la noción de momento lineal o cantidad de movimiento (producto de la masa por la velocidad ) y nunca quiso aclarar más su significado, conformándose con el aspecto intuitivo del concepto. Ha resultado, a posteriori, que la formulación de la segunda ley de Newton en función de la cantidad de movimiento está en sintonía con la moderna teoría de la relatividad, lo que constituye un tributo real a la perspicacia de Newton.

Si se intenta modificar el estado de movimiento de un cuerpo, por ejemplo acelerándolo, habrá que aplicar una fuerza que se puede calcular por la segunda ley: F=ma . Resulta evidente que cuanto mayor sea la masa inercial del cuerpo, mayor fuerza hay que aplicar al mismo para conseguir una aceleración determinada.

La masa gravitatoria

Newton no descubrió la gravedad. Lo que Newton descubrió es que la gravedad era universal. Todos los cuerpos tiran unos de otros de una manera extraordinariamente simple en la que sólo intervienen la masa y la distancia. La ley de la gravitación universal de Newton dice que la fuerza con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional a las masas. Cuando mayores sean las masas, mayor será la fuerza de atracción que se ejercen mutuamente. Newton dedujo, además, que esta fuerza de atracción disminuye como el cuadrado de la distancia que separa los centros de los cuerpos. Cuanto más alejados estén los cuerpos, menor será la fuerza de atracción que se ejercen mutuamente. Por todo ello, es habitual enunciar la ley de la gravitación como sigue: “la fuerza con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”. En este sentido, cabe considerar la masa como la propiedad de la materia en virtud de la cual todo cuerpo ejerce una fuerza de atracción sobre cualquier otra partícula. Se denomina a esta propiedad masa gravitatoria.

La fuerza que tienes que hacer para mover sobre una superficie horizontal a un elefante terco empujando su trasero está relacionada con la masa inercial del elefante. Sin embargo, la fuerza que tienes que hacer para sostenerlo en brazos es una manifestación de su masa gravitatoria, ya que tienes que vencer la atracción terrestre.

¿Masa inercial o masa gravitatoria?

Al suponer que la gravedad es una propiedad universal de la materia, podemos considerar que la masa gravitatoria es proporcional a la masa inercial y, por consiguiente, el cociente entre la masa gravitatoria y la masa inercial debe ser el mismo para todos los cuerpos. Si se elige apropiadamente las unidades de la masa gravitatoria podemos hacer que dicho cociente valga la unidad y entonces usar el mismo número tanto para la masa gravitatoria como para la masa inercial. Esto se ha hecho implícitamente en la selección del valor de la constante de gravitación universal G. La constancia del citado cociente ha sido verificada experimentalmente para toda clase de cuerpos con gran cuidado y puede considerarse como una hipótesis correcta. Por otro lado, el hecho bien demostrado de que todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre caen, en ausencia de rozamiento, con la misma aceleración es una indicación del hecho de que la masa inercial y la masa gravitatoria son lo mismo, ya que la aceleración calculada a partir de la ley de la gravitación universal es independiente de la masa del cuerpo que cae. Por consiguiente, se puede usar el término masa para referirnos ya sea a la masa inercial ya a la gravitatoria, puesto que no se pueden distinguir.

La masa frente al peso

En el lenguaje ordinario masa y peso se confunden. Es más, si le preguntas a alguien cuánto pesa te contesta con la masa que tiene. La frase “durante el embarazo llegué a pesar 70 kilos (kilogramos)” se emplea con normalidad, mientras que la frase: “me acabo de pesar y he comprobado que mi masa se mantiene invariable: 112 kilogramos ” nos parecería propia de una persona pretenciosa. Si uno dice: “mi peso es 700 newtons” lo toman por tonto. Sin embargo, desde el punto de vista de la física, las dos últimas frases son correctas.

Ya tenemos claro, supongo, qué se entiende por masa, en su doble comportamiento de inercial y gravitatoria, aunque con el mismo valor numérico. El peso es la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo debido a la gravedad; tu peso es la fuerza de atracción que el planeta ejerce sobre ti y que se calcula mediante la ley de gravitación universal. Sólo en el espacio interplanetario, muy lejos de las estrellas y de cualquier objeto material, no pesarías nada en absoluto. Tu masa, sin embargo, seguiría siendo distinta de cero. En las proximidades de la Tierra (o de cualquier astro), el peso de un cuerpo es proporcional a su masa. Los cuerpos cuya masa es grande son atraídos intensamente por la Tierra : tienen un peso elevado. Los cuerpos con masas pequeñas son atraídos débilmente por la Tierra : tienen pesos pequeños. En un mismo lugar, duplicar la masa supone duplicar el valor del peso. La masa y el peso tienen valores proporcionales pero no iguales. En la superficie terrestre, el valor del peso de un cuerpo se obtiene multiplicando su masa por la intensidad del campo gravitatorio (9,8 N/kg). Se podría decir que un kilogramo pesa 9,8 newtons ; así, por ejemplo, un toro de lidia de 600 kg de masa tiene un peso de 5.880 N.

En la vida cotidiana hay dos formas diferentes de pesar: con la balanza de platillos y con la balanza de resorte elástico. Cuando vas de viaje y pesas tu maleta, no la colocas en una balanza de platillos, sino en una balanza de resorte o báscula. El peso del cuerpo (o fuerza de atracción gravitatoria) oprime o presiona el resorte elástico hasta un cierto punto y el resultado queda señalado por una aguja en una escala graduada. La balanza de resorte indica, pues, el peso. El mismo principio se utiliza en las básculas de baño, aunque en este caso, debido a que masa y peso son directamente proporcionales, la escala se ha modificado para que indique la masa. Recuerda que pesos de 9,8 N, 19,6 N y 29,4 N corresponden a masas de 1, 2 y 3 kg , respectivamente.

La balanza de platillos mide la masa. Disponiendo de una juego de masa patrón de varios tamaños (también conocido como juego de pesas), sólo se necesita equilibrar en la balanza de platillos el cuerpo cuya masa se desea conocer con el número apropiado de unidades de masa patrón. La gravedad actúa igualmente sobre ambos lados, y así, una vez que los objetos se equilibran -el peso es el mismo en los dos platillos- sus masas también son iguales. Lo que acabamos de describir constituye de hecho cómo medir la masa; es una definición operacional de masa, que evita de forma escrupulosa tener que desarrollar una descripción conceptual. Si hubiéramos empezado por ahí, nos habríamos ahorrado las disquisiciones anteriores sobre el concepto de masa. Las definiciones operaciones soslayan lo que no es mensurable. Son monótonas y aburridas, pero efectivas.

Sigamos jugando con las balanzas. Las balanzas de platillos nos dan siempre el mismo resultado en cualquier lugar de la superficie terrestre y del Universo, pero no así las balanzas de resorte. Esto es, un montón de exámenes sin corregir de 10 kg de masa medidos en una balanza de platillos, seguirán siendo 10 kg de masa si trasladas el sistema a cualquier parte de la Tierra. Sin embargo, al pesar el citado montón de exámenes en una balanza de resorte en Zaragoza obtendrás un valor de 98 N ( 10 kg multiplicado por 9,8 N/kg); en el Polo Norte pesará más de 98 N, menos de 98 N en el Ecuador, menos en un avión y menos todavía en el interior de una mina de carbón. Suponiendo que se utiliza la misma báscula de resorte en todos estos lugares. Esto es debido a la falta de homogeneidad y de esfericidad de la Tierra , que da lugar a cambios geográficos en el peso de un cuerpo. Todo el mundo sabe que es lucrativo comprar oro en el Ecuador y venderlo en el Polo Norte, siempre que se emplee la balanza adecuada.

La cantidad de sustancia

Al comienzo del presente artículo se ha argumentado en contra de la idea de masa como cantidad de materia. ¿Y qué ocurre con la cantidad de sustancia?

La cantidad de sustancia es una magnitud que aparece en el estudio de las reacciones químicas. En este contexto, dada la naturaleza corpuscular de la materia, es conveniente utilizar alguna magnitud que mida el número de partículas de una muestra y esa magnitud es la cantidad de sustancia . En general, el problema que se plantean los químicos es el siguiente: ¿qué masas hay que tomar de diferentes sustancias para que contengan el mismo número de partículas (átomos o moléculas)? Comencemos con un símil. Imagina que dispones de dos enormes montones de tornillos y tuercas y que no puedes contar el número que hay en cada uno de ellos. Tampoco conoces la masa de un tornillo ni la de una tuerca; sólo sabes que la masa de un tornillo es seis veces mayor que la masa de una tuerca ¿Qué masas hay que tomar de unos y otras para que hubiera el mismo número de tornillos que de tuercas? Si pesas 1 kg de tornillos y 1 kg de tuercas, habrá más tuercas que tornillos (seis veces más); pero si tomas 6 kg de tornillos y 1 kg de tuercas, dispondrás del mismo número de tornillos que de tuercas. El único inconveniente es que no sabes cuál es ese número común.

Algo parecido sucede en el mundo químico. Si la masa de un átomo de cloro es 35,5 veces mayor que la masa de un átomo de hidrógeno, es seguro que 35,5 g de cloro contienen el mismo número de átomos que 1 g de hidrógeno ¡Estamos utilizando la balanza para contar el número de átomos!

La unidad de cantidad de sustancia se llama mol . Un mol es la cantidad de sustancia que contiene tantas entidades elementales (átomos, moléculas, electrones,…) como átomos de carbono hay en 12 g de carbono-12. Aunque este concepto sea útil, seguimos sin saber el número de entidades elementales que constituyen un mol. Posteriormente al establecimiento del concepto de mol se pudo determinar este número, que resulta ser: 6,02 x 10^23 partículas/mol = 602.000.000.000.000.000.000.000 partículas/mol. Estamos diciendo que en 12 g de carbono hay 6,02 x 10^23 átomos de carbono, que en 1 g de hidrógeno hay 6,02 x 10^23 átomos de hidrógeno o que en 35,5 g de cloro hay 6,02 x 10^ 23 átomos de cloro. Este número, conocido como número de Avogadro , es enorme. Para que te hagas una idea, un número de Avogadro de canicas de 1 cm de diámetro, bien compactadas, cubrirían toda la península Ibérica con una capa de unos 1.000 km de espesor. Como dato curioso, se ha calculado que al respirar aspiramos en cada inspiración unas doce moléculas del aire que lanzó Julio César hace unos 2.000 años cuando moribundo pronunció la frase: Tu quoque, fili? , al ver a Bruto entre los conjurados.

Una advertencia, para terminar. El concepto de masa que se ha pretendido explicar pertenece al marco de la física clásica. Se ha considerado que la masa es constante para cada cuerpo. Esto no es así en el contexto de la relatividad especial, en la que la masa depende de la velocidad. Pero esa es otra historia.

BIBLIOGRAFÍA

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